∞⁰ = ∞, 1 կամ անորոշ: Ո՞րն է

Մի քանի օր առաջ ես հոդված գրեցի Ramanujan Summation- ի մասին, որը երկար պատմություն կարճացնելու համար մաթեմատիկական շարք է, որը նման է այսպիսի բան.

Եթե ​​ցանկանում եք կարդալ հոդվածը, կտտացրեք այստեղ: Ես ապացուցում եմ այս փաստը հոդվածում և երկու այլ հավասարապես հետաքրքիր հավասարումների հետ միասին: Հենց այստեղ է, որ ես սայթաքեցի գաղափարի համար հենց այս հոդվածի համար: Ramanujan Summation- ի ամփոփումը հրապարակելուց հետո ես մեկնաբանություն ստացա անսահման հաշվարկային հավաքածուի փոխադարձության օգտագործման մասին: Կոմուտատիտացիան այն գաղափարն է, որ եթե ունեք 1 + 2 + 3, պայմանները վերադասավորելը չի ​​փոխում արդյունքը: Այսպիսով, 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, դուք կարող եք, բայց պայմանները ցանկացած կարգով, և պատասխանը միշտ էլ կլինի 6. Ես այս գույքն օգտագործում եմ իմ մյուս հոդվածում վերը նշված հավասարումը ապացուցելու համար, բայց forceOfHabit– ը բերեց մի հետաքրքիր կետ, արդյո՞ք սա անվերջ թվերի համար է:

«Դա ինտուիտիվորեն ակնհայտ է, որ կան երկու անգամ ավելի դրական ամբողջ թվեր, որքան նույնիսկ դրական ամբողջ թվերը: Բայց եթե վերցնենք դրական ամբողջ թվերի հաջորդականությունը և դրանք բազմապատկենք 2-ով, մենք ստանում ենք նույնիսկ դրական ամբողջ թվերի հաջորդականություն: Բայց հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ 2-ով բազմապատկելը չի ​​փոխում անդամների քանակը: Այսպիսով, կան ճիշտ նույն թվով դրական ամբողջ թվեր, որքան նույնիսկ դրական ամբողջ թվերը: Ուրեմն ո՞րն է: Երկու անգամ նույն կամ նույն թիվը »: - forceOfHabit

Եվ անկեղծ, ես չգիտեի դրա պատասխանը: Բայց դա հասել էր հետաքրքրությանս գագաթնակետին, ուստի որոշեցի մի փոքր ավելին ուսումնասիրել: Ես իջա Վիքիպեդիայի կրպակ `մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերի միջով, ճանապարհին սովորելով մի քանի հետաքրքիր փաստ և ավարտվեց կարդինալության մեջ: Կարդինալությունը զբաղվում է կոմպլեկտներով և ինչպես նկարագրում եք մի շարք տարրերի քանակը: Օրինակ, 1,2,3} հավաքածուն ունի 3 տարր կամ 3 կարդինալ:

Օգտագործելով կարդինալություն, մենք կարող ենք սկսել բռնել վերը նշված հարցերին: Ես մի փոքր ավելի հետազոտեցի և գտա կարդինալության մի հետաքրքիր հատված, որը կոչվում է Կարդինալ թվաբանություն, որոնք թվաբանական գործողություններ են, որոնք կարող են կատարվել կարդինալ թվերի վրա, որոնք ընդհանրացնում են բնական համարների համար սովորական գործողությունները: Լամանների իմաստով ասած, դրանք հատուկ գործողությունների շարք են, որոնք հատուկ աշխատում են կարդինալ համարների համար, յուրաքանչյուրն ունի իր բնորոշումը: Օրինակ, եթե համապատասխանաբար 3 և 4 կարդինալներով A և B երկու հավաքածու ունեք, ապա մենք դա նշում ենք որպես | A | = 3 և | B | = 4. Այնուհետև | Ա | + | Բ | = | A ∪ B |. Իհարկե, սա նույնն է, ինչ պարզապես ավելացնելով | A | թվային արժեքներ և | B |, այն փաստը, որ այն սահմանվում է այս կերպ, ցույց է տալիս, թե ինչպես կան թվաբանական գործողություններ, որոնք կարող են ստեղծվել հատուկ հավաքածուների համար (պայմանով, որ գործողությունը բավարարում է որոշակի չափանիշներին):

Օգտագործելով կարդինական թվաբանություն, ապացուցված է ոչ միայն, որ իրական համարի կետերի միավորների քանակը հավասար է այդ տողի ցանկացած հատվածի կետերի քանակին: Այն հնչում է շատ հակափաստարկող, բայց հետո նորից, ուստի վերևում է նաև հարցը, որն է պատճառը, որ ես սիրում եմ մտածել, որ դրանք նման են: Ակնհայտ է, որ դա ոչ մի ձևով ոչ պաշտոնական, ոչ նույնիսկ վավեր ապացույց է, բայց ես կցանկանայի ենթադրել, որ եթե դրանք հաշվի առնեք նույն իմաստով, ապա forceOfHabit- ի հարցի պատասխանը տարբերակն է b; նույն թվով ամբողջ թվեր:

Բայց, մյուս կողմից, ես կարող եմ լիովին սխալվել, և դա է անսահմանության տարակուսանքը: Այնքան բան կա, որ դրա մասին հայտնի չէ, քանի որ այն պարզապես հասկացություն է: Անսահմանությունը չափելու միջոց չկա, քանի որ ըստ սահմանման այն աննկատելի է, և ինքնըստինքյան գլուխդ փաթաթելու դժվար հասկացություն է: Կարծում եմ, որ մաթեմատիկոսի 1-ին կուրսի իմ պրոֆեսորը բավականին լավ ամփոփեց անսահմանությունը. «Ես ատում եմ անսահմանությունը: Դա մի շարք չէ, բայց մենք դրան վերաբերվում ենք ինչպես մեկ, բայց չպետք է: Դա հասկացություն է, ոչ թե մաթեմատիկական արժեք, այնպես որ, եթե ձեզանից որևէ մեկը այն օգտագործում է որպես այդպիսին, կարող եք նաև թողնել դասընթացը »:

Հիմա իմ սիրելի համարի համար ամբողջ աշխարհում: Դուք ինչ-որ մեկին հարցնում եք, թե որն է նրանց նախընտրած համարը (իհարկե, եղանակի մասին փոքր-ինչ խոսակցությունից դուրս գալուց հետո), և նրանք հավանաբար կասեն որևէ բան, որը վերաբերում է ծննդյան տարեդարձին կամ այն ​​հաջողակ թվին, որին հավատում են: 0. Դա բախտավոր թիվ չէ, ոչ էլ ծննդյան տարեդարձ կամ տարեդարձ, բայց դա ինձ համար ամենահետաքրքիրն է:

Սկսնակների համար այն ունի արժեք, բայց ոչ մի արժեք: Եթե ​​այն ավելացնում եք մեկ այլ համարի, ապա այն մնում է նույնը: Նվազեցրեք այն, մնում է նույնը: Բայց երբ բազմացնում ես այն, ստանում ես 0, անկախ նրանից, թե ինչով ես այն բազմապատկում:

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

Եվ երբ այն բաժանում եք, ստանում եք 0 ՝ անկախ նրանից, թե որն է այն նշանակողը (տող 1 համարը, մնացեք դրա համար լարված): 0/1234-ը դեռ զրո է

Բայց երբ զրոյական եք սուզվում, իսկապես ստվախ բաներ եք ստանում: Ես խոսում եմ պարկուճային փամփուշտների մասին մատրիցային մակարդակում խելագար: Բոլորը, ովքեր անցել են հանրահաշիվների դաս, գիտեն, որ մենք չենք կարող զրոյի բաժանվել, քանի որ այն անորոշ է: Մենք այն դասակարգում ենք որպես չորոշված, քանի որ, եթե դուք փորձում եք 6-ն բաժանել զրոյի, ապա նման է `« Ի՞նչ քանակի 0-ն է վեցի »հարցը տալը: Մենք գիտենք, որ այդ թիվը բավարարելու համար ոչ մի թիվ չկա, ուստի բաժանումը զրոյի հետ չի հետևում բաժանման նորմալ կանոններին: Հետևաբար, մենք դա անտեսում ենք: Բայց եթե մոռանանք այդ կանոնը մի վայրկյան, ապա զրոյական բաժանումը կարող է դառնալ շատ կոկիկ գործիք ՝ ամբողջովին ծիծաղելի իրողությունները «ապացուցելու» համար: Օրինակ:

Թող a = b: Հետո
ա² = աբ
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) #Magical քայլը տեղի է ունենում այստեղ
2 = 1

Մենք գնում ենք այնտեղ, ես պարզապես ապացուցեցի, որ 2 = 1 -ը և կոտրեցի մաթեմատիկան: Այս գործի պատճառն այն է, որ կախարդական քայլի պատճառով երկու կողմերն էլ բաժանվում են a² - ab- ով, բայց եթե նայեք բնօրինակ հայտարարությանը ՝ a = b, այնպես որ a² = ab, այլ կերպ ասած `a² - ab = 0. Սա բաժանում է ըստ զրո, որն այս ճշգրիտ պատճառով անորոշ է: Դա է նաև պատճառը, որ մաթեմատիկոսները խուսափում են ժանտախտի նման:

Բարեբախտաբար, դա իրականում երրորդ տարբերակն է: Ես կարող էի անցնել, թե ինչպես, երբ դա սահմանի տեսքով է, այն անորոշ ձև է, բայց ես կարծում եմ, որ Apple- ից հայտնի ընկերն այն ամենից լավ նկարագրում է.

«Պատկերացրեք, որ դուք ունեք 0 թխուկ և դրանք հավասարաչափ բաժանեք 0 ընկերների միջև: Քանի՞ բլիթ է ստանում յուրաքանչյուր անձ: Տեսեք, իմաստ չունի: Եվ Cookie Monster- ը տխուր է, որ թխուկներ չկան: Եվ դուք տխուր եք, որ ընկերներ չունեք »: - Siri (իսկապես, փորձեք հարցնել Siri «ի՞նչ է 0-ը բաժանված 0-ով»)

Ավելի բարդ հարց ՝ զրոյի հետ կապված, ի՞նչ է 0⁰ -ը: Դե ըստ սահմանման, եթե դուք ունեք b- ի ուժը, ապա արդյունքը բազմապատկվելու է ինքն իրենով b անգամ: Այսպիսով, այն պետք է լինի զրո ճիշտ: Քանի որ ցանկացած թվով, որը բազմապատկվում է զրոյով, զրո է: Բայց մենք գիտենք նաև, որ a⁰ = 1 (բոլորի համար ≠ 0), այնպես որ միգուցե այն պետք է լինի 1: Կամ արդյո՞ք այն պետք է սահմանվի 0-ի պես բաժանման պես: Սա երկար ժամանակ քննարկվել է մաթեմատիկայում, և երկու կողմն էլ կան փաստարկներ, թե ինչպիսին պետք է լինի իրական պատասխանը: Այստեղ կա մի հետաքրքիր կայք, որը փաստարկներ է տալիս երկու կողմերի համար, բայց հիմնականները հետևյալն են. 0⁰- ում պետք է լինի անորոշ կողմ, մենք ունենք.

  1. Մենք գիտենք a⁰ = 1 (բոլորի համար ≠ 0), բայց a⁰ = 1 (բոլորի համար>> 0): Այս հակասությունը նշանակում է, որ 0⁰ -ը պետք է անորոշ լինի

0⁰ = 1 կողմում մենք ունենք.

  1. Որպեսզի binomial թեորեմը պահպանի x = 0, մեզ հարկավոր է 0⁰ = 1
  2. 0⁰- ը ներկայացնում է դատարկ արտադրանքը (0 տարրերի հավաքածուների քանակը, որոնք կարող են ընտրվել 0 տարրերի շարքից), որն ըստ սահմանման 1 է (սա նաև նույն պատճառն է, որ 0-ի ուժի մեջ բարձրացված որևէ այլ բան 1-ն է):

Այսպիսով, ի՞նչ է պատասխանը: Դեռ մենք դեռ չունենք հստակ պատասխան: Մարդկանց մեծամասնությունը կհամաձայնվի, որ դա անորոշ է (քանի որ x ^ y- ը, որպես երկու փոփոխականի գործառույթ, ծագման մեջ շարունակական չէ): Բայց երկու կողմերն էլ ունեն հիմնավորված փաստարկներ, և քանի դեռ ինչ-որ մեկը չի կարող հանդես գալ կոնկրետ ապացույցով, որը պնդում է մեկը կամ մյուսը, իրականում անհնար է պնդել, եթե երկուսն էլ ճշմարիտ են:

Այժմ գուցե դուք հետաքրքրվեք, թե ինչ է պատահում, եթե երկուսը համատեղեք: Ի՞նչ է ∞ x 0: Ինչպե՞ս ∞⁰ Դե խնդիրը վերադառնում է դեպի անսահմանություն, քանի որ այն պարզապես գաղափար է: Չափելու միջոց չկա, դուք չեք կարող ունենալ անսահման քանակությամբ անճաշակ արջեր կամ անսահման քանակությամբ պաղպաղակ (չնայած համոզված եմ, որ բոլորս ցանկանում ենք, որ կարողանայինք):

Ժամանակի մեծ մասը, պատասխանը անորոշ է: Սրանք բոլորը հարցերի պատասխաններ են, որոնք պատասխան չունեն, քանի որ մենք չենք կարող նշանակալից արժեք տալ անսահմանության նման գաղափարին: Իհարկե, կա տարօրինակ բացառություն, ինչպիսին է 0 ^ ∞-ն, որն ունի մի տեսակ արժեքի 0. Եթե վերցնում եք 0 ^ n- ի սահմանը, քանի որ n- ն հակված է անսահմանության, այն զրո է: Բայց դրանք հազվադեպ դեպքեր են, և նույնիսկ դրանից հետո 0 ^ ∞ -ը տեխնիկապես հավասար չէ 0-ին, այն պարզապես շատ է մոտենում դրան:

Այսպիսով, տեսնում եք, անսահմանությունը շատ հետաքրքիր բան է, քանի որ այն միևնույն ժամանակ այնքան շոշափելի է և այնքան վերացական: Դուք դա միշտ տեսնում եք մաթեմատիկական դասագրքերում և հավասարումների մեջ, բայց մենք դեռ չունենք հստակ սահմանում կամ արժեք, թե որն է այն:

Զրոն պարզապես հիանալի է, քանի որ դա անում է իր սեփական գործը: Երբեմն սիրում է խաղալ կանոններով, երբեմն դա անում է իր սեփական գործը, և երբեմն ինքն իրեն կողպվում է սենյակում և հրաժարվում է համագործակցել որևէ մեկի հետ:

Երկուսն էլ ունեն իրենց փրկագնման առանձնահատկությունները, որոնք շատ օգտակար են մաթեմատիկայի ոլորտում: Դրանք նաև ունեն իրենց քիրկերը, որոնք կարող են օգտակար և երբեմն օգտակար լինել, իսկ մյուսների մոտ `ցավ: Բայց մինչդեռ դա ընդամենը կյանքի փաստերից մեկն է, այն անսահմանության և զրոյի անհեթեթությունն է: