10 անհարմար պահեր մաթեմատիկայի պատմության մեջ

Բոլորս զգացել ենք մեր անհարմար պահերը: Ինչ-որ անսպասելի բան է պատահում, կա որոշակի սոցիալական լարվածություն և անձնական անհանգստություն, և դուք իսկապես կցանկանայիք դա հաղթահարել կամ մոռանալ, որ երբևէ պատահել է: Բայց ի՞նչ անել, եթե դու խստորեն մաթեմատիկոս ես, և քո աշխարհը պարզապես խաթարվի:

Մաթեմատիկան միշտ էլ եղել է աշխարհը տրամաբանության միջոցով աշխարհը հասկանալու և այն խիստ սահմանված, մաթեմատիկական լեզվով արտահայտելու մասին: Իրականորեն ցուցիչ, դաստիարակչական և զվարճալի է դիտարկել մաթեմատիկան, երբ այն դադարեց (ակնթարթորեն) իմաստալից:

1. Իռացիոնալ թվերի հայտնաբերում

Աթենքի դպրոցը, որը պատկերում էր ձախ անկյունում գտնվող հույն գրեթե բոլոր հնարավոր փիլիսոփա Պյութագորասը

Քանի որ մաթեմատիկական խստության ծագումը կայանում է Հին Հունաստանում, մաթեմատիկական միտքը սկսվեց մոտ կրոնական հավատալիքներին, այդպիսով թվերին վերագրվեց աստվածային հատկանիշներ:

Պյութագորասի դպրոցը, վաղ մաթեմատիկոսների անսխալ թիմը, որը մաթեմատիկական գիտելիքները առաջ էր մղում, ինչպես բոլոր պաշտամունքները, հիմնված էր որոշ ֆունդամենտալ համոզմունքների վրա: Զարմացած գործակիցների գործնական կիրառությունից յուրաքանչյուր գործնական խնդրի համար նրանք հավատում էին, որ գործակիցները (այո, պարզ բաժանված թվերը) աստվածային են, քանի որ նրանք կարող են բացատրել ամեն ինչ, ինչ կատարվում է աշխարհում:

Ըստ այդմ, աշխարհում այն ​​ամենը, ինչ կատարվում է, պետք է կարողանա արտահայտվել որպես հարաբերակցություն, ճիշտ է:

Հիմա պատկերացրեք նրանց անակնկալը, երբ նրանք գտան 2-ի քառակուսի արմատը ՝ միաժամանակ կիրառելով նոր ձևավորված Պյութագորայի թեորեմը: Այս իռացիոնալ համարը (իռացիոնալ նշանակություն, որը այն չի կարող արտահայտվել որպես երկու թվերի հարաբերակցություն) հակասում է համաշխարհային կարգին, որը արտահայտվում է հարաբերակցությունների աստվածությամբ և կասկածի տակ է դնում նրանց ողջ փիլիսոփայությունը:

Այս հեղափոխական հայտնագործության հետևանքներից սարսափած ՝ նրանք որոշեցին որևէ մեկին այդ մասին չպատմել: Ասում են նաև, որ նրանք նույնիսկ խեղդեցին բացահայտումը կատարած մարդուն ՝ Հիպասին: Հանգիստ գիտական, չե՞ք կարծում:

2. Անսահմանություն

Իռացիոնալ թվերի հայտնաբերումը, ինչպես արդեն վատն էր, հույներին բերեց ավելի սարսափելի հայտնագործության առջև ՝ անսահմանություն: Քանի որ իռացիոնալ թվերը բնութագրվում են տասնորդական թվանշանների անսահման քանակով, հույները ստիպված էին եղել բացատրություն տալ այն մասին, թե ինչպես կարելի է ստեղծել անվերջ թվերի շարք: Անսահմանության գաղափարը դժվար է հասկանալ այսօր, առավել ևս, որ մի ժամանակաշրջան, երբ կրոնը կապված էր գիտության հետ, և մաթեմատիկական հավատը չպետք է մարտահրավեր դնի Աստծո մասին մեր հասկացողությանը: Ի՞նչ արեցին հույները: Փիլիսոփաները, ինչպես Արիստոտելը և Պլատոնը, մերժեցին բացարձակ անսահմանության գաղափարը, և մաթեմատիկոսները եկել էին երկրաչափության մեջ անսահմանության անհրաժեշտությունը շրջանցելու հնարամիտ եղանակներով, ինչպես Կնիդուսի Եվդոկուսը, որը մշակեց սպառման եղանակը ՝ հաշվարկելու ձևի տարածքը: Մինչև 17-րդ դարի վերջը, Նյուտոնը և Լեյբնիզը խրախուսեցին անսահմանությունը հաշվի առնելու անսահմանությունը հաշվի առնելու անսահմանափակման մասին, և symbolոն Ուոլիսը ներկայացրեց անսահմանության հայտնի խորհրդանիշը 1655 թվականին:

3. Զենոյի պարադոքսները

Հույները, անշուշտ, գնում էին ծայրահեղությունների, երբ խոսքը գնում էր փիլիսոփայական բանականության հետ:

Այն բանից հետո, երբ նրա նախորդ Հերակլիտոսը պնդում էր, որ աշխարհում ամեն ինչ անընդհատ փոխվում է, Փարմենիդեսը պնդում էր, որ ոչինչ չի փոխվում: Արդյունքում, շարժումը զուտ պատրանք է, ուստի, օգտագործելով մաթեմատիկան, ճշմարտության լեզուն, ըստ հույների, այն նկարագրելու համար պետք է անհնար լինի:

Պերմենիդեի սաներից մեկը ՝ Զենոն, ստեղծեց մի շարք պարադոքսներ, որոնք նպատակ ունեին ապացուցել շարժման իռացիոնալությունը: Ամենահայտնիը ՝ Աքիլլեսը և նրա կրիան, այսպես է ընթանում. Աքիլեսը մրցում է կրիայի դեմ, որը զգալիորեն դանդաղ է ընթանում, և առավելություն է տրված մրցավազքը սկսել նրանից 100 մետր առաջ:

Եթե ​​ենթադրենք, որ պարզության թափահարության համար, որ երկու մրցույթի արագությունը կայուն է, իսկ Աքիլեսը 10 անգամ ավելի արագ է, քան կրիան, ապա կարող ենք ասել, որ երբ Աքիլեսը հասնում է կրիայի մեկնարկային կետին, ապա դա վազելու է 10 մետր: Այսպիսով, Աքիլլեսը փորձելու է բռնել և մինչև հասնի այս հաջորդ կետին, կրիան կտեղափոխվի ևս մեկ մետր:

Ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի այս խնդիրը, լինելով նույնքան պարզ և պարզ, որքանով որ կա, մեզ հանգեցնում է հետևյալ պարադոքսալ եզրակացության. Աքիլեսը երբեք չի հասնի կրիա, անկախ նրանից, թե որքան արագ է նա: Շնորհավորում ենք Զենո, Դուք շարժումը հնչեցրեցիք անտրամաբանական:

Ենթադրվում էր, որ Զենոյի պարադոքսները գոյություն ունեն մետաֆիզիկայի և անհանգիստ փիլիսոփաների ու մաթեմատիկոսների ոլորտում, դարեր շարունակ, բայց այսօր դրանք կարելի է բացատրել հաշվարկով ՝ մաթեմատիկական գործիք, որը հույները չունեին: Եկեք «շարժվենք» այդ ժամանակ:

4. Möbius շերտ

Դիմահարդարման միջոց ՝ Möbius շերտ

Զվարճալի հայացք ունեցող Möbius շերտը, որը նույնպես ինքնուրույն հայտնաբերվել է 1858 թ.-ին անսխալ ցուցակագրմամբ, որի անունը մաթեմատիկայի պատմությունը թողեց անմշակ, մի մակերես է, որն ունի միայն մեկ կողմ և միայն մեկ սահման, որը հաճախ օգտագործվում է երիտասարդ մաթեմատիկայի ուսանողների համար:

Դուք կարող եք հեշտությամբ ստեղծել այն, վերցնելով թղթի ժապավենը, պտտելով այն, ապա միանալով շերտի ծայրերին:

Լինելով առանց կողմնորոշման մակերեսի առաջին օրինակը, դա չփչացրեց մաթեմատիկայի հիմքերը, ինչպես արեցին այս ցուցակի մյուս հայտնագործությունները, այնուամենայնիվ, այն ապահովեց շատ գործնական ծրագրեր, ինչպիսիք են ՝ դիմացկուն գոտին, և ոգեշնչված մաթեմատիկոսների համար անսարք մակերեսները, ինչպես Klein շիշը: (Այս մակերեսի անվանումը, հավանաբար, գալիս է կրկնակի զուգադիպությամբ. Klein- ը, նրա հայեցակարգը, այն ի սկզբանե անվանվել է Fläche, որը գերմաներեն լեզվով նշանակում է մակերես և նման է Flasche- ի նման հնչյուններին, ինչը նշանակում է շիշ: Այն փաստը, որ այն նույնպես նման էր շշին) կնքեց վերանվանումը):

5. Կանտորի իրական թվերի անհայտությունը

Անսահմանության հետ գործ ունենալը արդեն իսկ քարշ էր, Կանտորը 1874-ին ապացուցեց, որ իրականում կան անսահմանության տարբեր տեսակներ: Մասնավորապես, ապացուցելով իրական թվերի անհասանելիությունը, Կանտորը ապացուցեց, որ այս հավաքածուն ավելի մեծ է արդեն իսկ թվերի արդեն բնական անսահման շարքի համար:

1891 թվականին նա նաև տրամադրեց անկյունագծային փաստարկը ՝ մեկ ապացույց այնքան էլեգանտ, որ հետագայում այն ​​ընդունվեց որպես պարադոքսի օգտագործման միջոցով ապացուցելու գործիք: Նրա դիտողությունն առաջ բերեց կարդինալ թվերի տեսությունը, ինչպես նաև պարադոքսները, որոնք զբաղվում էին այն հարցով, թե քանի անսահմանություններ կարող եք ղեկավարել:

6. Ռասելի պարադոքս

Բերտրան Ռասելը մաթեմատիկոս էր, փիլիսոփա, տրամաբան, մաթեմատիկոս, պատմաբան, գրող, սոցիալական քննադատ, քաղաքական ակտիվիստ և, իմ կարծիքով, անձնավորություն, որն արժեր իրեն ուսումնասիրել և ոգեշնչել:

1901 թ.-ին Ռասելը հայտնաբերեց թույլ կետ ՝ Կանտորի այսպես ասած, հիմնված հավաքածու տեսության մեջ, ինչը նրան հանգեցրեց հակասության, որը մաթեմատիկական աշխարհը չէր կարող վերահսկել: Ըստ այս տեսության, իրերի ցանկացած հավաքածու կարող է լինել մի շարք:

Ռասելի հակասական օրինակը, որը կոչվում է նաև Բարբերի պարադոքս, հետևյալն է. Պատկերացրեք մի քաղաք, որն ունի հատուկ կանոն; յուրաքանչյուր մարդ, ով ինքն իրեն չի սափրվել, պետք է սափրվի քաղաքի բարերարի կողմից: Անհարմար հարցը, որին դուք կարող եք փորձել ինքներդ ձեզ պատասխանել, հետևյալն է. Ո՞վ է սափրում խորամանկը:

Այս հայտնագործությունը նրան ստիպեց կասկածի ենթարկել նախորդ հավաքածուի տեսության հիմնարար հիմքերը և ստեղծել նորը, որը ավելի բարդ էր, քան ավելի ուշ առաջարկված Zermelo-Fraenkel- ի հավաքածուի տեսությունը, չհասան:

7. Գադելի անավարտության թեորեմները

Kurt Gödel- ը տրամաբան, մաթեմատիկոս և փիլիսոփա, որը ցնցեց 19-րդ դարում մաթեմատիկայի և տրամաբանության հիմքերը:

Եթե ​​նախորդ իրադարձությունները կարծես թե ստեղծում էին մի փոքր անհարմար պահեր, սպասեք հետևյալ անհարմար կրիային (և դա ավելի վատ է, քան Աքիլլեսը):

Մենք խոսում ենք 20-րդ դարի մասին: Մարդիկ պարզապես չէին ուզում իմանալ: Նրանք ուզում էին իմանալ ՝ հնարավո՞ր է իմանալ, և ապացուցել դա: Նրանց համար դժբախտաբար և տիեզերքը հասկանալու մարդկային անհրաժեշտությունը ՝ Գյադելը 1931-ին հրատարակել է երկու թեորեմներ, որոնք հայտնի են որպես թերի տեսություններ:

Դրանց տեխնիկական պայմանների բացատրությունը նույնքան դժվար է, որքան նրանց եզրակացությունների գալը, քանի որ այն, ինչ Գոդելը ապացուցեց, այն էր, որ, հաշվի առնելով հետևողական և ամբողջական համակարգ, ինչպիսին է թվաբանության լեզուն, կան հայտարարություններ, որոնք և իրական են, և չեն կարող ապացուցվել: Նա պատկերացրեց իր թեորեմի ճշմարտությունը այս պարզ հայտարարությամբ, ոգեշնչված ստախոսի պարադոքսով. «Այս հայտարարությունը չի կարող ապացուցվել»: Եթե ​​դա ճիշտ է, ապա այս հայտարարությունը ճիշտ է և չի կարող ապացուցվել: Եթե ​​սա կեղծ է, ապա այս հայտարարությունը կարելի է ապացուցել, ինչը հակասում է այն փաստարկին, որ այն չի կարող ապացուցվել:

Սրանք շատ վատ նորություններ էին մաթեմատիկայի համար ՝ նրանց զրկելով բացարձակ ճշմարտությունը բացատրելու իրենց բնօրինակ շողից: Դա նաև սարսափելի վերադարձ էր Հիլբերտի ՝ գիտելիքների որոնման համար, որն արտահայտվել է «Մենք պետք է իմանանք, կիմանանք» հայտարարության մեջ:

8. Տարսկու անորոշելիության թեորեմը

Թվում է, որ Տարսկին ոգեշնչված էր Գեդելի կողմից ստեղծված հուսահատությունից: 1936-ին նա ապացուցեց անորոշելիության խնդրի մասին:

Չնայած Տարսկու արած դիտարկումները ներառված են նաև Գյոդելի աշխատության մեջ, պնդվում է, որ Տարսկու ստեղծագործությունն ավելի խորը փիլիսոփայական ազդեցություն ունի: Տարսկուն հաջողվեց հասնել ընդհանուր եզրակացության, որ մի լեզու չի կարող ինքնին ճշմարտություն սահմանել: Չնայած սա կարևոր սահմանափակում է, նա առաջարկում է, որ ավելի հզոր մետա-լեզու օգտագործելը բավարար է ճշմարտությունը պարզ լեզվով որոշելու համար:

Այժմ սովորական մարդը կարող է մտածել, որ դա լուծում է խնդիրը, բայց մաթեմատիկոսի համար, ով փնտրում է «բոլոր լեզուները ղեկավարելու համար բոլոր լեզուները», սա մխիթարական չէ:

9. Դադարեցման խնդիրը

Ալան Տուրինգը փորձեց լուծում տալ որոշման խնդրին, որը, պարզ խոսքով, գործ ուներ ալգորիթմի գտնելու հետ, որը կարող է պատասխանել ՝ հայտարարությունը ճշմարիտ է, թե ոչ: Այս հայեցակարգային պարզ, բայց դժվար լուծելի խնդիրը լուծելու համար նա վերափոխեց այն դադարեցման խնդրին. Կա՞ մի մեքենա, որը կարող է ասել, թե արդյո՞ք ծրագիրը կդադարի տվյալ խնդրի հետ:

Դադարեցնելը նշանակում է, որ այն հավերժ չի թեքվի: Բայց ինչպե՞ս եք ապացուցում մի մեքենայի անսասանությունը, որի մասին այդքան քիչ բան գիտեք: Ահա թե որտեղ են պարադոքսները հարմար:

Ալան Տուրինգը սկսեց ստանձնել այն մեքենայի առկայությունը, որը տվել է մուտքային ծրագիր, և խնդիրը պատասխանում է այն հարցին, թե կդադարի այն, թե ոչ: Այնուհետև նա ավելացրեց այս մեքենան ՝ իր արդյունքը վերադառնալով դեպի իրեն, եթե պատասխանը այո էր, և դադարեցնելով, եթե պատասխանը ՝ ոչ:

Այսպիսով, արդյո՞ք ուժեղացված մեքենան դադարեցնելու է դադարեցման խնդիրը: Ալանի պատասխանն է. Եթե այո, ապա ոչ, եթե ոչ, այո: Տրամաբանության համար վատ նորություններ են հնչում:

10. Առանց անվճար ճաշի թեորեմ

21-րդ դարի անցումը նշանակում էր փոխանցում մաքուր, համարյա փիլիսոփայական մաթեմատիկայից ՝ կիրառական ոլորտներ, ինչպիսիք են վիճակագրությունը և օպտիմիզացումը:

Եթե ​​ձեզ համարում եք, որ սիրում եք օպտիմիզացիա, չե՞ք կարծում, որ դա ձեզ կատարելագործական կդարձնի: Եվ արդյո՞ք կատարելագործողը չէր ցանկանա գտնել իրերը օպտիմիզացնելու օպտիմալ ձևը:

Թվում է, թե Դեվիդ Ուոլբերտը և Ուիլյամ Մակրեյնթը զգացել են այդ կարիքը և պատասխանել են, ինչը, իհարկե, բոլորովին էլ հուսադրող չէր (հակառակ դեպքում դա մեր ցուցակում չէր լինելու): Համաձայն 1997 թ.-ին լույս տեսած «Նրանց օպտիմիզացման» անվճար լանչի թեորեմի, «օպտիմիզացման ցանկացած երկու ալգորիթմ համարժեք է, երբ դրանց կատարումը միջինացված է բոլոր հնարավոր խնդիրների դեպքում»:

Սրտի խախտումը դա կարող է լինել, չի նշանակում, որ օպտիմալացումը ապարդյուն է: Մենք պարզապես երբեք չենք գտնի դա անելու ընդհանուր առմամբ օպտիմալ տարբերակ:

Այս պահերը մաթեմատիկայի աշխարհը ստիպեցին անհարմար զգալ, ինչը թեթև տերմին է հուսահատության և քաոսի զգացմունքների համար, որոնք գիտնականները հակված են զգալ, երբ տիեզերքը դադարում է իմաստալից լինել: Բայց ցնցումը գիտությունն առաջ տանելու ձևն է:

Ստեղծվեցին մաթեմատիկական դաշտեր, մենք ստացանք Turing Machine- ը, նայում էինք մակերեսային երևույթներին և, ամենակարևորը, մեր ընկալումները վերանայելու և դրանց գործիքները համապատասխանաբար հարմարեցնելու ունակությանը:

Հարցաքննող այս պահերը օգնեցին մեզ զարգացնել մտավոր զարգացումը:

Բացառությամբ թերի տեսությունների: Սրանք պարզապես ավերիչ էին: